Как объяснить написание безударных гласных в формах "гуляешь" ("гуляишь") и "гуляем" ("гуляим")?

Гулять - глагол первого спряжения.
У глаголов первого спряжения во втором лице пишется : -ешь, -ете; а в первом лице соответственно: -ем.
Из всего сказанного выше можно сделать вывод, что правильным будет следующее написание : гуляЕм, гуляЕшь.
                                                                              

Правильно пишется "гуляем" и "гуляешь". Глагол "гулять" относится к первому спряжению (оканчивается на -ять). Личные окончания глаголов первого спряжения: -у(-ю), -ешь, -ет, -ем, -ете, -ут(-ют).
Ко второму спряжению относятся: 
– глаголы в неопределённой форме оканчивающиеся на -ить (кроме брить, стелить);
– 7 глаголов на -еть: смотреть, видеть, ненавидеть, зависеть, терпеть, обидеть, вертеть;
– 4 глагола на -ать: слышать, дышать, гнать, держать, а также все приставочные глаголы, образованные от них.

Гуляешь (что делаешь?) - (что делать?) гулять.
Если глагол заканчивается на -ить, то он 2 спряжения. Если заканчивается на что-то другое, то глагол 1 спряжения.
(не забываем про исключения 1 спряжения - брить, стелить; 2 спряжения - смотреть, видеть, ненавидеть, зависеть, терпеть, обидеть, вертеть, слышать, дышать, гнать, держать)
У глаголов 1 спряжение в окончаниях пишется -е, -у, -ю.
Итог: гуляЕшь, гуляЕм