То есть какой из этих вариантов правильный:
1 Девушка меняется телом с преступником.
2 Девушка меняется телами с преступником.
По логике у девушки всего одно тело, только его она и может поменять. Но у обоих участников обмена в сумме два тела. Как же писать правильно?

Лучше написать так:  Девушка меняется с преступником телами.
В обмене участвую два тела, поэтому все-таки используется мн. число. Это подтверждает и толковый словарь:
МЕНЯТЬСЯ, нсв. 1. (св. обменяться и поменяться). кем-чем. Производить взаимный обмен. М. книгами. М. мужьями. М. дежурствами, часами занятий.
Примеры из Нацкорпуса:
Человек испытывает «недостаток топлива», возникают проблема со сном: день меняется с ночью местами. [Дарья Рощеня. Горел, горел работой и... сгорел! // 2017]
В других случаях можно усмотреть, что она принадлежит главарю шайки. Он меняется с ней крестами.  [В. Я. Пропп. Исторические корни волшебной сказки (1946)]