Как правильно: кореной или коренной?
С одной Н или с двумя НН?
Коренной или кореной?
Как объяснить правописание?

Слово "коренной" пишется с двумя буквами н. Это отымённое прилагательное, образованное от существительного " корень". В русском языке есть такое правило:" Если основа существительного заканчивается на букву -н, то в прилагательном, образованном от этого существительного, пишется две буквы -н, так как к  основе добавляется суффикс-н." На таком стыке морфем в прилагательном пишем - нн.
Приведём другие примеры, где происходит такой же стык морфем: лимонный ( лимон + н), картинный ( картина + н), туманный  (туман + н) и другие.
                                                                              

Слово "коре(н/н)ой" является прилагательным мужского рода и чтобы понять, как пишется "кореНой" или "кореННой" - обратимся к правилам русского языка.
Само прилагательное образовалось от существительного "корень", где  путем слияния основы "корен" и суффикса "н" появилось слово "кореННой".
Пишем правильно "кореННой".
Чтобы унять боль в кореННом зубе, Николай решил прополоскать рот теплой водой с содой.

В прилагательных, коим является ваше слово, пишутся две буквы нн если в них имеются суффиксы "енн", "онн". Слово исключение - ветреный. Поэтому данное слово пишется так: коренной. Например: Сосед Иванов - коренной житель нашего древнего города.