Как это решить Попить чайка или попить чайку — как правильно?.

Брат предложил попить чайку.
В русском языке, если имя существительное в предложении означает означает часть от какого-то количества, обьема, то окончание "ю" или "у", но не "а". В данном словосочетании уменьшительно-ласкательная форма.
Пример:кваску, медку, сырку, чайку, кофейку.
                                                                              

Для начала нужно обратиться к начальному варианту данных слов "чайка" и "чайку". Зная контекст в котором мы могли бы использовать данные слова, можно утверждать, что начальная форма это "чаёк", дескать уменьшительно-ласкат�ельная форма слова "чай". Поэтому в таких типах предложений, будет лучше скачать "попить чай".

У имен существительных, которые обозначают какое-либо вещество с указанием на его количество, когда необходимо назвать и обозначить часть от общего объема, количества вещества, пишется в словах окончание 'У"" или "Ю".
Чашка чаю, килограмм сыру, полкилограмма жиру, купить керосину, долить кипятку, принести гороху.
При уменьшительно-ласкат�ельной форме слова употребляется только окончание "У".
Попить чайку, поесть сырку, положить в вазочку медку.
Попить чайку - так правильно, в соответствии с правилами для нормативного русского языка.
В разговорной, просторечной речи возможно любое употребления данного выражения.

Это существительное и плюс речь идёт об уменьшительно-ласкательном варианте этого слова.
Писать нужно  "чайку", то есть "у" на конце слова (окончание), а не "а".
Хотя есть слово "чайка" в русском языке, но значение у него другое (это птица).

Гадать не будем - обратимся к мнению специалистов сайта "Грамота.ру":

Верным вариантом с точки зрения грамматики русского языка является "попить чайку", да и так как правило эту фразу произносят и в народе. Ну а наличие в слове "чай" именно гласной "у", объясняется тем, что данное существительное, обозначает часть от какого либо предмета или вещества.