Как правильно следует писать- "на занятии" или "на занятие"? "и" или "е"?

На занятии и на занятие пишется с буквой "и" и "е" в окончании в зависимости от падежной формы в предложении.
Определим, когда следует писать "на занятии" или "на занятие".
Выбираем правильную падежную форму слова в зависимости от смысла контекста.
Слово "занятие" среднего рода заканчивается на -ие. Оно изменяется по падежам в форме единственного числа:
и. п. что? занятие
р. п. время (чего?) занятия
д. п. уделю время (чему?) занятию
в. п. начнем (что?) занятие
т. п. интересуюсь (чем?) занятием
п. п. расскажет (о чём?) о занятии.
В форме винительного падежа это существительное имеет окончание -е:
Ученики собрались (на что?) на занятие.
В форме предложного падежа существительное "на занятии" имеет окончание -и:
На занятии преподаватель сообщил интересные факты из жизни дельфинов.
                                                                              

Правописание окончания данного нам слово зависит от падежа в котором оно находится;
Приведём пример:
Пошёл ( на что?) на занятие; винительный падеж в окончании пишем "е".
Был (на чём?) на занятии; предложный падеж в окончании пишем "и".

Возможны оба окончания, потому что они принадлежат разным падежам. Предлог на может означать как движение куда-либо, так и нахождение где-либо. Всё зависит от смысла, который выражается глаголом, требующим от существительного постановки в определённом падеже:
Иванов шёл (смысловой вопрос: куда? падежный вопрос: на что?) на занятие - процесс движения, винительный п.;Сидоров остался (смысловой в.: где? падежный в.: на чём?) на занятии - нахождение, предложный п.Окончание -е возможно только в именительном п. (при котором не бывает никаких предлогов!) и винительном.
Если Вам сложно понять смысловое различие, подставьте вместо "занятия" любое существительное 1 склонения, ведь там-то Вы никогда ничего не перепутаете:
Петров шёл на реку.Петров остался на реке.

Чтобы верно написать слова "на занятии" или "на занятие", следует вспомнить род, определить склонение, также, написание в соответствующем падеже. Слово "занятие"в именительном падеже имеет окончание "е" и относится к среднему роду.
Чтобы верно определить, какое окончание проставить в слове, необходимо просклонять.
Слово "занятие" может иметь окончание "е" или "и", изменив падеж, кроме именительного, в винительном ("е"), предложном ("и").
Таким образом наблюдаем, что будучи в винительном падеже напишем окончание "е", а в предложном - "и".
Выходит, написание зависит от конкретного случая, смотря по контексту.
Примеры.
Прозвенел звонок, поэтому ученики с перемены устремились в класс на занятие. На что ученики отправились? - На занятие. В предложении играет роль дополнения, здесь окончание "е".
Первоклассник вернулся из школы, весело рассказывая, как интересно было на первом занятии. В этом случае окончание "и".

Слово "занятие" относится во второму типу склонения как имя существительное среднего рода, но его особенность в том,
что оно на конце имеет сочетание букв "-ие". Это и сказывается на падежном окончании.
В отличие от остальных существительных упомянутого склонения, имеющих окончание "-е" в предложном падеже числа един-го (о веществе, в болоте, в масле,), существительные на "-ие" (как и на "-ий") в этом падеже имеют окончание -и.
На занятии (где? на чём?) кружка по русскому языку  учительница рассказала о фразеологизмах.
И это необходимо просто запомнить, потому что проверочного опорного слова с ударным окончанием нет.
В падеже винительном окончание остается таким же, как и в остальных существительных среднего рода, относящихся ко второму склонению -- "-е" (или "-о").
На занятие (на что?) пришло много учеников.
Проверочным может служить опорное слово "окно" с ударным окончанием (на окно поставили вазу).

Студент находился на занятии в институте, а за окном аудитории бурлила уличная жизнь.
Существительное  (на чем?) "на занятии" находится в винительном падеже и заканчивается на "И".
Студент пошёл на занятие по информатике, чтобы попытаться сдать зачёт.
Существительное (на что?)  "на занятие" имеет винительный падеж , поэтому имеет окончание "Е".

Здесь нет единого ответа, который будет верным, так как оба варианта имеют право на существование, потому что может быть и так, и эдак.
Ведь если задать вопрос к этому словосочетанию, то можно понять, что задав вопрос на что? получим на занятие, то есть с буковкой е в окончании, а это указывает на то, что перед нами винительный падеж. Ну а если зададим другой вопрос, то есть на чём?, то получаем окончание с буквой и, то есть на занятии, а это уже будет предложный падеж. Так что, как видим, окончание зависит от падежа, следовательно чтобы сказать какую букву необходимо писать в окончании нужно рассматривать каждый конкретный случай, в зависимости от того где данное выражение употребляется и какой смысл имеет.
Так что верными будут оба варианта, поскольку можно писать по-разному.

Оба варианта написания слова являются правильными, нужно просто научиться верно их использовать в соответствии с нужным падежом.
Занятие - слово, которое, отвечая на вопрос Что?, принадлежит к группе существительных.
Рассмотрим первый вариант на примере.
На занятии (На чем?) нам рассказали о способах геометрической задачи.
Здесь слово стоит в предложном падеже, надо писать - на занятии.
Второй пример.
Мы отправились на занятие (На что?) ровно в пять часов.
Опаздывать на занятие нам не хотелось и вы вышли из дома пораньше.
Здесь слово в форме винительного падежа и пишем в этом случае - на занятие.

Оба варианта верные, все будет зависеть в каком падеже используется слово "занятие".
Рассмотрим на примере таких предложений:
"На занятие к ученикам зашел новый директор" - поставим вопрос "на что?" - "на занятие", у нас винительный падеж, значит выбираем "на занятие".
Теперь другое предложение:
"На занятии по литературе мы изучали новое произведение" - залаем вопрос "на чем?" - "на занятии", здесь предложный падеж, правильный вариант - "на занятии".

Если, к примеру взять, он пошел на занятие (вопрос ставится - пошел на что?).
Если  он находится на занятии (вопрос - находится на чем?).
Здесь окончание будет зависеть от постановки вопроса, от падежа.