Помогите решить Как пишется: "навыкат" или "на выкат", "навыкате" или "на выкате"? Почему?.

Правильно: навыкат, навыкате.
Обычно так говорится о глазах. В то же время надо отметить, что сочетание "глаза навыкат" в старых текстах писалось раздельно.
Почему же сейчас наречие пишется слитно? Ведь в  русском языке достаточное количество наречных выражений с раздельным написанием предлога НА: на скаку, на лету, на бегу, на виду, на износ, на зависть.
Объяснить слитное написание можно так. Обычно слитное письмо применяется для различения парных вариантов, и в данном случае мы имеем пару "наречие - существительное", "навыкат - на выкат".
Существительное "выкат" используется не часто, обычно это разговорная форма от слова "выкатка". А выкатка - термин, который используется для обозначения перемещения транспорта: выкатка вагонов, выкат самолета.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Из-за присутствия в русском языке существительного "выкат" (значение - выдвижение на колёсах какого-либо транспорта), слова "на(?)выкат" и "на(?)выкате" интуитивно могут восприниматься как некие его формы с предлогами.
Например:
"Я на выкат твоей телеги не смотрел". "Я на выкате не присутствовала".Примеры очень редкие, но они возможные. Слово "выкат" действительно может находиться в сочетании с предлогом "на" и пишется с ним раздельно.
Но чаще всего, используя наречия "навыкат" и "навыкате", говорят, к примеру, о глазах или о груди. В этих случаях слова "выкат" уже нет, оно находится после присоединения к нему приставки в составе новых слов. Поэтому "на выкат" и "на выкате" (в значении "чрезмерно выпуклый") не пишут, применяя слитный вариант.
Например:
Сам виноват и у самого же глаза от этого навыкат.