Как пишется: "не погасшая" или "непогасшая"?
Слово "не погасшие" слитно или раздельно пишется?
Как правильно пишется: "не погасшее (солнце)" или "непогасшее (солнце)"?
Как на примере со словом "не погасшие" объяснить его написание?

Грамматическая форма "не(?)погасшее (пламя)" может быть как бы по-разному интерпретированы различными предложениями.
Например:
"В душе Никанора Ивановича по-прежнему пылало удивительное непогасшее пламя позавчерашнего долгого эмоционального разговора". Утверждение - признак отсутствия пробела между "е" и "п". "В небе Виталий увидел не погасшее пламя солнца, а золотые его лучи". Противопоставление - признак написания раздельно. "Отнюдь не погасшая свеча (или пламя, огонь свечи) насторожила Наталью Александровну, вошедшую в дом Степана". Причиной раздельного написания стало слово "отнюдь" перед сочетанием "не погасшая". Оно усиливает отрицание.