Как правильно пишется: "не веря" или "неверя"?
Какие правила?

Как известно, "Не" с деепричастиями пишется раздельно. Этот случай не является исключением, правильное написание - "Не веря".
Вот примеры предлодений:
Не веря своему счастью, я поспешил домой.Я говорил, не веря собственным словамКак же мне ходить в церковь, не веря в Бога?                                                                              

Слово "веря" - это деепричастие, отвечает на вопрос - что делая? Оно образованно от глагола несовершенного вида - что делать? - "верить". Деепричастие обозначает добавочное действие к основному действию
Деепричастия пишутся с частицей "не" раздельно, в два слова - "не веря".
Примеры предложений:
Не веря в результаты опыта, Сергеев все равно начал испытания.Девушка застыла на месте, не веря собственным глазам. Не веря ни единому слову этого человека, Анфиса молча повернулась и ушла.