Как пишется слово?
Мягкий знак пишем или нет? Обоснуйте.
Какое правило русского языка применимо в данном случае?

В вопросе речь идет о небходимости постановки мягкого знака после шипящей согласной на конце слова.
Правила постановки мягкого знака связаны с принадлежностью слова к той или иной части речи. На выбор конкретного пункта правила влияет также форма слова.
Слово из вопроса отвечает на вопрос что делаешь? и называет действие. Значит, перед нами глагол.
Правила, касающиеся постановки мягкого знака после шипящих согласных в глаголах включают три основных пункта. Нам подойдет следующий:
мягкий знак необходимо ставить на конце глаголов после шипящих в форме изъявительного наклонения ( будущего или настоящего времени ) второго лица единственного числа, ь сохраняется и перед постфиксом -ся в вышеуказанной форме у возвратных глаголов:
знаешь, увидишь, умоешься.
Глагол из вопроса следует писать с ь на конце гладишь, так как это форма настоящего времени второго лица единственного числа.