Как правильно пишется название Маньчжурия?
Хотелось бы не только выяснить правильное написание слова Маньчжурия, но и понять его логику. Почему остановились именно на этом варианте? Их ведь было несколько: и Маньчжурия, и Манджурия, и Манжурия.

Не глубоко проникаясь в словообразование с точки зрения  точной передачи знаков одной письменности знаками другой, можно точно сказать, что правильно - Маньчжурия. Что является основанием для такого утверждения.
Документы. Приходилось читать  архивные документы 1898 года о строительстве Кайдаловской (Маньчжурской) ветки КВЖД. Во всех документах и более позднего периода, включая  материалы акционерного Русско-Китайского Банка, писали "Маньчжурия". А в документах такого рода точно прописывали данные местоположения. И ещё название местности (поселения) Маньчжурия произошло от названия коренного народа - маньчжу́ров. Это тунгусо-маньчжурский народ, коренное население Маньчжурии.
                                                                              

Есть такая штука - называется система Палладия (в честь архимандрита Палладия, выпустившего в 19 веке китайско-русский словарь). Эта система приводит довольно строгие правила того, как китайские слова передаются на русский наиболее близко к звучанию, по крайней мере, для северокитайского диалекта, который считается литературной нормой языка в целом, и она работает, потому что в китайском довольно-таки строгие правила - какой звук в каком случае надо произносить. Эта система не всегда идеальна - ну, просто потому что китайский язык невероятно сложен и богат на звуки, причём, нехарактерные для других языков (например, то, что у нас передаётся как "ж", на самом деле - нечто среднее между нашей "ж" и английской "r"), но лучше ничего до сих пор не придумали.
И вот по этой системе, поскольку слово "Маньчжурия" попало к нам именно через Китай, слог "man" передаётся всегда как "мань" - например, по этому идёт разделение комиксов на: манга (японские), манхва (корейские) и маньхуа (китайские). Исключения из этого составляют только слова, которые были заимствованы из Китая давным-давно и уже успели "обрусеть" и устояться как литературная норма - лагман и манты.
Ну и передача китайского [j] как "чж", а не каким-то другим образом - это тоже сюда же.
Так что более правильный вариант, по крайней мере, с точки зрения устоявшихся правил - это Маньчжурия.
Другие варианты могут встречаться, если речь идёт о каких-то более ранних текстах, когда система Палладия ещё не была создана и признана как наиболее правильный вариант передачи китайской фонетики.

Вообще-то название Маньчжурия происходит от самоназвания одного из тунгусских народов - манчу (Manchu), которое они приняли в начале XVII века вместо старого племенного названия чжурчжэнь (Jurchen). В европейских атласах XVII-XVIII вв. оно описалось на французский манер как Muoncheu.
Соответственно, в большинстве европейских языков эта территория называется Manchuria, т.е. в транслитерации на русский будет Манчурия, кстати, сами коренные жители говорят примерно так же, а себя называют "манчур".
Но в русский язык  это название попало в ханьской версии - Mǎn-tsú, т.е. должно было бы быть Маньцзурия. Ну а почему сейчас мы пишем Маньчжурия, это вопрос к товарищу Палладию, разработавшему систему китайско-русской транслитерации. Надо отметить, что далеко не всегда она точно передаёт исходное звучание. Только один пример: часто встречающееся в китайском слово -H-u-i- в версии Палладия будет хуэй, хотя сами китайцы говорят именно так, как это слово пишется латиницей, но Палладий посчитал это неблагозвучным для русского уха :-)