Помогите решить Почему пишем "треугольник", когда три угла, надо писать "триугольник"?.

Заданное слово -- сложное имя существительное, составленное из двух корней: тр- (от изменяемого по падежам числительного "три") и **угол".
Как известно, чаще всего между частями  сложного слова  употребляются соединительные гласные — "о" и "е".
Вот и в этом сложном существительном две его части соединены гласной е.
И таких слов с корнем тр- в русском языке достаточно много, например: существительные треуголка, треух, треножник, трезвучие и прилагательные  трегубый, трезвучный, трезубый,  треногий, глагол стреножить.
И все они образованы при помощи соединительной гласной "е".
На  рисунке внучки  мама  была изображена в виде вытянутого равнобедренного треугольника.
                                                                              

В однокоренных словах к числительному ТРИ не всегда трЕтья буква И. Например: треть, третьяк (в старину третий ребёнок в семье). Значит в разных вариантах возможно другое написание.
А причины в особенностях развития языка, которые могут быть неочевидны для неспециалиста и в особенностях произношения, которое должно быть удобным для беглой речи, но некоторые вещи приходится изучать и запоминать для грамотности.

Написание этого слова зависит от его образования.
Существительное "треугольник" (что?) - сложное, производное  от сложного прилагательного "треугольный".
Само же это прил-е - результат сложения основы числительного "три" (тр-) и суффиксального образования от "угол".
Элемент "е" - не что иное, как соединительная гласная. Морфемный состав - тр/е/уголь/ник/.
Вот и всё.

У треуголки и треуха тоже по три угла, а "трепетильник" - вообще книготорговец.