Как следует писать правильно "о нём" или "об нём"?
Какой предлог следует писать "о" или "об"?

О нём.
Предлог "об" ставится перед существительными с первой гласной буквой (об игре) или, если перед существительным стоит прилагательное с первой гласной (об опасной болезни)
Соответственно, предлог "о" перед сущ-ми с первой согласной, или прил-ми с первой согласной буквой.
Обратите внимание, что есть ещё предлог "обо". Он ставится только в случае "обо мне".
                                                                              

Если слово начинается на согласную, то предлог "о", так в нашем случае "о нём".
Если слово начинается на гласную, то предлог "об". Например "об оркестре", об аисте".
Но здесь речь идет не только о буквах, но и о звуках. Так гласные Я, Ю, Е, Ё когда стоят в начале слова, обозначают два звука и начинаются с согласной Й: Я это [й] и [а], Ю это [й] и [у], Е это [й] и [э], Ё это [й] и [о]. Поэтому перед словами, начинающимися с этих гласных будет стоять предлог "о". Например "о яблоке", "о Юрмале", "о ели", "о ёжике".

В данном вопросе встречается ситуация, приводящая к частым речевым ошибкам.
Между тем, правильное написание и произношение легко запомнить:
Например, О нём в последнее время столько разговоров! или О нём в последнее время стали забывать.
Пример с предлогом "об": Сколько об этом автомобиле можно говорить, цена не изменится.