"По государственному" или "по-государственному" - когда как писать?
"По государственному" пишется через дефис или раздельно?

Как и когда правильно писать приведенные слова?
Это зависит от принадлежности сочетания прилагательного "государственный" с предлогом "по" к той или иной части речи, что определяется по контексту, по заданному к слову вопросу.
Например.
По государственному заказу на аппараты произведена своевременная оплата.
В этом предложении предлог "по" стоит перед согласованным определением, участвует в вопросе "по какому заказу?",  относится же к существительному "заказ". Прилагательное  можно переставить на место после определяемого существительного, не изменив при этом общего смысла предложения.
А вот пример второй.
Подходить к этому вопросу следует строго по-государственному.
"КАК подходить?" -- по-государственному. Это уже наречие, образованное от прилагательного "государственный" при помощи приставки "по-" и суффикса "-ому-".
Такие наречия, по правилам орфографии русского языка, пишутся через дефис. 
Таким образом, оба варианта написания заданного слова правильны в определенных текстах.

По-государственному
Пишутся через дефис наречия с приставкой по-, оканчивающиеся на −ому, −ему, −ски, −цки, −ьи