Как правильно пишется: "по датски", "по-датски"?
Как пишется: "по датскому" или "по-датскому"?
Когда пишется "по датскому" и когда "по-датски"?
"По-датски" писать с дефисом?
"По датскому" писать раздельно?

Выбор между 4 вариантами - "по-датски", "по датскому", "по датски" и "по-датскому" - производится таким образом:
1) "По-датски" - правильно. Слово "по-датски" - это наречие. Означает оно "как у датчан, как в Дании, на датском языке". Например: "Она стала говорить по-датски".
2) "По датски" - неправильный вариант. "По-датски" писать правильнее.
3) "По-датскому" - некорректный вариант. "По-датски" писать правильнее.
4) "По датскому" - правильно. Например: "Они специалисты по датскому языку". Сочетание "по датскому" - это имя прилагательное "датский" с предлогом "по". "Сочетание "по датскому" пишется, как правило, раздельно.