Затрудняет учашихся в тесте ЕГЭ по русскому языку вопрос №7.
Перечень распространенных  ошибок  в употребленни  предложений с деепричастными оборотами.
Найти и обосновать ошибку, исправить:
Закончив институт, выпускников направили на работу в московские школы.
Как он трогателен, произнося этот монолог.

Глагол в предложении выражает основное действие, а деепричастие - добавочное. Оба эти действия должны относиться к одному и тому же лицу, которое их выполняет (производит, делает). В первом предложении два действующих лица: выпускники и те, кто их направляет. Как только мы изменим это, получим правильное предложение, составленное по тем грамматическим нормам, которые существуют в русском языке.
Кроме тех вариантов (или вместо тех вариантов), которые предложила Украшалочка, я бы добавила вот ещё какой: "Выпускники института (тут желательно указать название) получили направления в московские школы".
Если мы остановимся на этом варианте, тогда избежим ещё и лексических оплошностей, допущенных в первом предложении - речевой избыточности (выпускники - это лица закончившие институт, поэтому в одном предложении слово "выпускники" и словосочетание "закончили институт" излишне) и фактической неточности (отправились на работу в школы - это не то же самое, что получили направления). При большом желании можно придраться к грамматическому несовершенству фразы "... на работу (ед. число) в школы (множ. число)".
Второе предложение нам с вами не нравится тем, что сказуемое в нём является составным именным, т.е. к нему не может относиться деепричастный оборот. Нужно либо изменить сказуемое, либо оборот.
Вариант Украшалочки подходит. Можно и так: "Как трогательно он произнёс этот монолог!"
                                                                              

Когда выпускники закончили институт, их направили на работу в московские школы.
Или так:
Закончив институт, выпускники отправились на работу в московские школы.
Он выглядит очень трогательно, когда произносит этот монолог.
Хотя второе предложение можно было бы и не исправлять, в отличие от первого.