Как правильно: по-соловьиному или по соловьиному?
Какая часть речи "по*соловьиному"?
Какой пример предложения со словом "по*соловьиному"?

Всё возможно в этом мире, главное, знать, чего именно Вы хотите. Двое предыдущих ораторов заявили, что перед нами наречие (со всеми вытекающими). Если не идти на поводу у первой же ассоциации, картина получается более полной и требующей двух вариантов написания.
По-соловьиному как наречие. Да, здесь требуется тире. Отвечает на вопрос "как?" и в предложении выступает обстоятельством образа действия. По соловьиному как прилагательное с предлогом, которое должно согласовываться в числе, роде и падеже с существительным или личным местоимением. То есть перед нами часть словосочетания с согласованием как типом связи. В предложении главное слово обычно выступило бы дополнением, а стоящее при нём прилагательное - согласованным определением.Все примеры взяты из НКРЯ.
"Соловьиным краем" часто называют курскую область, поэтому в Интернете можно найти много текстов с этим словосочетанием в разных падежах, в том числе и в предложном, например:
В русском языке любые слова могут оказаться рядом и, стоя вместе, они могут походить на какие угодно другие словоформы!
                                                                              

Имя прилагательное "соловьиный" может  сочетаться  с именами существительными (соловьиный свист, соловьиная трель) не только в начальной форме, но и в различных падежных формах с предлогами. Можно употребить это прилагательное и в дательном падеже с предлогом "по" -- по соловьиному.
Например.
Вернувшись из экспедиции, Варвара весь вечер сидела в саду: она соскучилась по цветам в саду,  по соловьиному пению.
Это выделенное сочетание прилагательного с существительным, употребленном  с предлогом "по" пишется в три слова. между предлогом и прилагательным можно дополнительно вставить и другое слово (по красивому соловьиному) или же переставить местами это прилагательное с определяемым существительным (по пению соловьиному), что не изменит не только смысла, но и формы целого предложения.
Это есть  свидетельство того, что такое сочетание пишется раздельно (в два слова).
Однако  существует в современном русском языке  способ образования наречий  от основ имен прилагательных при помощи специальных суффиксов и приставок. Это наиболее продуктивный способ образования наречий.
Образованные при помощи суффикса "-ому", совпадающего  с окончанием прилагательного в дательном падеже, и приставки "по" пишутся через дефис. В этом случае  между приставкой и прилагательным невозможно вставить никакое другое слово, не изменив при этом его значения.
Иннокентий научился свистеть по-соловьиному и вечерами, сидя на крыльце дачи, перекликался с пением соловья.

Написание этого слова может быть раздельным с приставкой «по» или через дефис в зависимости от того какой частью речи это слово является в предложении. Написание зависит от контекста конкретного предложения.
По -соловьиному может отвечать на вопрос как? и быть наречием в предложении.
Механическая птичка, которую подарили императору, могла петь по-соловьиному.
Ни одна даже самая красивая птица не сможет петь по-соловьиному.
Если в предложении словосочетание является прилагательным с предлогом и отвечает на вопрос какому? , то надо писать раздельно.
В зоопарке по соловьиному пению мы поняли, что недалёко расположен вольер с птицами.

Это наречие, отвечающее на вопрос как? Такие наречия с по пишутся через дефис: по-соловьиному. Пример: Шкатулка моей бабушки казалась мне волшебной, поскольку при открывании пела по-соловьиному.
Точно так же пишутся другие подобные наречия: по-нашему, по-русски и т.д.