Как будет правильно: незатерянный или не затерянный?
Слитно или раздельно?
Не затерянный или не затерянный?
Какая часть речи?
Как объяснить правописание?

Возможны обе формы написания (незатерянный и не затерянный), выбор зависит от текста, от значения слова.
Частотность обоих вариантов невелика. Обычно мы имеем дело со словом "затерянный". Из словаря: ЗАТЕРЯННЫЙ, забытый всеми, заброшенный, покинутый. З-ая сторожка в лесу. Чувствовать себя затерянным.
По форме это причастие, но одиночные страдательные причастия прошедшего времени по значению близки к прилагательным, то есть могут обозначать постоянный во времени признак. Поэтому к одиночным причастиям применяются те же правила,что и к прилагательным.
Раздельное написание НЕ можно встретить в таком предложении: Этот городок вовсе не затерянный мир (усиление отрицания, правило для прилагательных). Или: Этот городок – не затерянный где-то в глуши мир (раздельное написание причастия при наличии зависимого слова)
Чтобы слово писалось слитно, оно должно иметь реальное содержание. В словаре такого слова нет, но в языке оно иногда встречается. Например, есть такая исследовательская программа "Незатерянный мир". Здесь имеется в виду, что реальные события никогда не проходят совершенно бесследно, не теряются в веках, то есть это «незатерянный мир».
Но этому слову можно придать  и другое значение: например, состоялась художественная выставка «Незатерянный мир» с особыми (волшебными, необычными) сюжетами.
Главное – это то, что при слитном написании НЕ слово должно выражать не отрицание, а утверждение, и это утвердительное значение должно быть ясным для пользователей (как должно быть ясным  и отрицательное значение при раздельном написании НЕ).