Сколько раз на месте пропуска пишется буква Е?
На прошлой недел_ наступили весенни_ денёчки. Скоро раста_т снег. В ожидани_ тепла с каждой ветк_ послыш_тся весёлое щ_б_танье осм_левших п_чуг. Высп_тся в б_рлог_ медведь и выйдет бродить по др_муч_й чащ_.
Чистое син_е небо отража_тся даже в самой маленькой лужиц_. Дыш_тся необыкновенно легко. Как же приятно пос_деть на скамеечк_ и погреться в лучах осл_пительного солнца! Мы рады тебе, весна!

Хотелось бы дать ответ на данный вопрос, рассмотрев каждое слово с пропуском(-ами) и объяснив, почему мы где-то пишем Е, а где-то — И.
1) [на прошлой] неделе — пишем в окончании букву Е, поскольку у нас существительное первого склонения (окончание им. падежа — -а или -я, в данном случае -я), а падеж у нас по контексту предложный. В предложном падеже сущ-ных 1-го склонения пишется Е. Можно проверить себя, подставив в наш контекст вместо сомнительного слова какое-нибудь существительного 1-го склонения, у которого окончания ударные. На неделе --> на Москве, на сестре и т. п. Чётко слышится Е (звук [э]).
2) весенние: -ие — это окончание именительного падежа множ. числа прилагательного. Никак нельзя проверить ударением конечную букву Е, как ни пытайся! Просто надо запомнить, что окончания -ии у прилагательных не бывает.
3) растает. Растаять — глагол первого спряжения, так как не на -ить, и это не глагол-исключение. В личных окончаниях 3-го лица ед. числа глаголов 1-го спряжения по общему правилу пишем Е.
4) в ожидании — предложный падеж существительного "ожидание". Это особый случай 2-го склонения. По Зализняку это тип склонения 7a. Вопреки общему правилу для 2-го склонения слова типа 7 (основа оканчивается на И) имеют в предложном падеже окончание И: в пении, на собрании...
5) [с каждой] ветки — первое склонение, родительный падеж. Вопрос "с чего?". По правилу в род. падеже 1-го склонения всегда пишем И. Можно проверить, подобрав слово того же склонения с ударным окончанием в том же контексте, т. е. в том же падеже того же числа и с тем же предлогом. С ветки --> c земли. Чётко слышится И.
6) послышится. "Послышаться" — производное слово; этот глагол образован от глагола "слышаться", а "слышаться", в свою очередь, от глагола "слышать". Это глагол-исключение, имеющий в личных окончаниях букву И! Нужно его запомнить. А все производные глаголы тоже будут иметь в окончаниях И. Итак, напишем в слове "послышится" в окончании И (вопреки тому, что "слышать" оканчивается на -ать).
7) щебетанье. Корень слова. Оба сомнительных места — проверяемые гласные. Первая проверяется словом "щебет", а вторая — словом "щебечет".
осмелевших. Аналогично, проверяемая гласная. Проверочное слово — смелый или смелость.
9) пичуг — словарное слово. Гласная является непроверяемой. Проверяем написание по словарю.
10) выспится. Интересный случай! Выспится — это форма глагола "выспаться". Суть в том, что этот глагол производный. Он был образован от глагола "спать" (склоняюсь к тому, что приставочно-суффиксальным способом, т. е. приставка и постфикс -ся присоединились одновременно; в подтверждение моей мысли смотрите ссылку). А у глагола "спать" личные окончания ударные! (Сплю, спишь, спит, спим, спите, спят.) Значит, спряжение данного глагола запрещается определять по инфинитиву. Поскольку ударение на окончании и в третьем лице там И — значит, это второе спряжение. А далее есть ещё одно правило: производные глаголы следуют спряжению соответствующих непроизводных, от которых они образованы. Глагол "выспаться" образован от "спать", а "спать", как мы определили, — это второе спряжение. Значит, и "выспаться" тоже второе. Следовательно, окончательно приходим к тому, что в слове "выспится" в окончании буква И.
11) берлоге — первая Е в корне, но она не проверяется ударением. Нужно запомнить написание. Вторая Е — это окончание предложного падежа сущ-ного 1-го склонения.
12) по дремучей. Первая Е входит в состав корня слова; склоняюсь к тому, что это проверяемая гласная и её можно проверить словом "дрёма" (также попутно действует ещё и следующее правило: если под ударением Ё, то без ударения в том же корне будет писаться Е, например тёплый — тепло). Вторая буква Е входит в состав окончания прилагательного. В данном случае это дательный падеж. В дательном падеже кач. и отн. прилагательных женского рода ед. числа бывают окончания -ой или -ей. Поскольку это смешанное склонение (последний звук основы — [ч'], он шипящий), то пишем окончание -ей.
13) чаще — имя существительное, 1-го склонения, в дательном падеже. Пишем окончание Е. (По Москве.)
14) синее — имя прилагательное, в среднем роде, в единственном числе, в именительном падеже. В подобном случае бывают окончания -ое и -ее. В нашем случае прилагательное имеет мягкий тип склонения (синий [син'ий'] — последний звук основы [н'], он мягкий, но не шипящий и не задненёбный), поэтому окончание будет -ее.
15) отражается. Глагол "отражаться" не относится к исключениям. Личные окончания безударны, значит, спряжение можно и даже нужно определить по инфинитиву. Инфинитив на -ать — это первое спряжение. В личной форме 3-го лица ед. числа напишем в окончании Е.
16) в лужице — имя сущ-ное, 1-е склонение, предложный падеж. Пишем окончание Е (см. выше, объяснения к № 1 и 11).
17) дышится — мы снова столкнулись с глаголом-исключением. Вернее, это форма производного глагола "дышаться", а он образован от глагола "дышать", который входит в перечень исключений (инфинитив на -ать, но в окончании 3-го лица ед. числа буква И). По полной аналогии с № 6 мы в слове "дышится" напишем в окончании букву И.
18) посидеть — здесь мы столкнулись с блоком омофонов. Это слова, которые пишутся по-разному, но произносятся одинаково. (NB: в академической традиции, согласно теории, которой учат в вузах, буква Е в первом предударном слоге даёт звук "И с призвуком Э"; но по школьной системе, по учебнику Литневской оба глагола "посидеть" и "поседеть" произносятся одинаково: [пас'ид'э́т'].) Выбор написания определяется по контексту, он зависит от значения слова. На скамеечках обычно сидят. Значит, в нашем конкретном случае проверочное слово — "сидя". Следовательно, напишем в корне в безударной позиции букву И. Седина тут абсолютно ни при чём.
19) скамеечке — имя сущ-ное 1-го склонения в предложном падеже (см. № 1, 11, 16). Пишем окончание Е.
20) ослепительного — корень "слеп". Гласная проверяется ударением; можно подобрать проверочные слова: слепо, ослеп.
Итак, подытоживая сказанное, мы в результате видим, что буква Е на месте пропуска пишется 16 раз в 13 словах. Вот эти тринадцать слов: неделе, весенние, растает, щебетанье (x2), осмелевших, берлоге (x2), дремучей (x2), чаще, синее, отражается, лужице, скамеечке, ослепительного.
                                                                              

16!
6 - существительных
4 - прилагательных
1-  действ. причастие прош. времени
2 - глагола
на неделе, весенние, растает, щебетанье, осмелевших, берлоге, по дремучей, чаще,
синее, отражается, лужице, на скамеечке, ослепительного  - 16.