Как правильно писать: "пресс-конференция с Президентом" или "прессконференция президента"?
Как пишется: "пресс-конференция с кем-то" или "пресс конференция кого-то"?

Независимо от фамилии, обычно говорят и пишут так:
"Пресс-конференция (кого-то)".То есть, во-первых, после части "пресс-" нужно поставить дефис, а затем после части "-конференция" ставить слово (чаще всего - имя собственное) в родительном падеже.
Второй предложенный вариант включает в себя предлог "с". Когда его нужно использовать?
Вот пример:
"Пресс-конференция с участием (кого-то)". Родительный падеж, в итоге, неизбежен.  Но имя существительное после слова "пресс-конференция" не обязательно. Так, например, можно сказать:
"Пресс-конференция, посвящённая...". "Пресс-конференция отменяется".А в нашем случае пишут так: "пресс конференция Путина".

Ответ на заданный вопрос напрямую следует из самого значения слова "пресс-конференция".
Слово имеет значение "беседы видных, известных  людей (государственных, политических, общественных, научных деятелей) с представителями прессы.
Напрашиваются вопросы при этом: беседа  "кого?" и "с кем?" 
И однозначный ответ на эти вопросы: "Пресс-конференция (Президента) Путина (с журналистами)".
По поводу правописания самого сложного существительного следует обратиться к правилу, оно простое.
По правилам же русского языка сложные имена  существительные с  первой частью "пресс" пишутся  только через дефис, например, пресс-центр, пресс-служба, пресс-секретарь,  и также  заданное существительное  пресс-конференция.
С интересом посмотрела трансляцию пресс-конференции Путина, где были затронуты важные вопросы.