Как правильно пишется слово "пуговичка"?
Как проверить написание слова "пуговичка"?

Правильное написание этого слова - пуговичка.
Проверочное слово  - пуговица. По правилам русского языка суффикс -ичк- имеют существительные женского рода, которые были образованы от слов с суффиксом - иц-. Например: пуговица - пуговичка, лестница - лестничка, умница - умничка, луковица - луковичка.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Выясним, как пишется "пуговичка" или "пуговечка", если обратимся к правилу орфографии.
Слово "пуговичка" образовано от существительного "пуговица" с помощью суффикса, придающем слову уменьшительно-ласкательное значение.
Обратим внимание на суффикс -иц- в морфемном составе исходного слова:
пугов-иц-а - корень/суффикс/окончание.
Согласно правилу орфографии в русском языке, если слово образовано от существительного с суффиксом -иц-,  то оно пишется с буквой "и" в суффиксе -ичк- (ич-к-).
Понаблюдаем:
пуговица - пуговичка;
луковица - луковичка.
Слово "пуговичка" правильно пишется с буквой "и".
Эта пуговичка украшает мою блузку.

Слово "пугов(и/е)чка" является существительным женского рода и чтобы понять, как пишется "пуговИчка" или "пуговЕчка" - обратимся к правилам русского языка.
Существительное "пугов(и/е)чка" образовано от существительного "пуговИца" на "иц-а"  и по определению пишется  "ичк-а" - "пуговичка".
Пишем правильно: пуговИчка, как и странИчка (странИца), лисИчка (лисИца), лестнИчка (лестнИца)...
Под кровать завалилась небольшая синяя пуговИчка.

Слово "пугови(е?)чка", которое является существительным женского рода, если его разобрать по морфемному составу, будем иметь: "пугов-" - корень, "-ич-" и "-к-" - суффиксы, "-а-" - окончание.
Суффиксы "-ич-" и "-к-" в своём сочетании придают существительному новый оттенок - уменьшительно-ласкательный. Производящее слово - существительное "пуговица", с суффиксом "-иц-"
Безударный суффикс "-ич-" в слове "пуговичка" стоит в слабой позиции, и поэтому может вводить в заблуждение.
На этот случай существует правило, согласно которому, если слово образовано от существительного женского рода, которое заканчивается на "-ица", то в этом слове пишется суффикс "-ичк" (или "-ич" и "-к-", как в нашем примере). Например: "умница - умничка". Во всех остальных случаях пишется суффикс "-ечк-". Например: "время - времечко".
Поэтому пишем наше существительное правильно: "пуговичка", с суффиксом "-ич-". 

Существует правило русского языка, согласно которому для существительных женского рода, имеющих суффикс -иц-, уменьшительно-ласкательная форма образуется при помощи суффикса -ичк-.
В нашем случае пуговица - пуговичка.
По аналогии пишутся и другие слова, подходящие под это правило: рукавица - рукавичка, разница - разничка, вещица - вещичка, ресница - ресничка, лисица - лисичка.
В качестве исключения мне вспоминается только пара курица - курочка, где используется суффикс - очк-.

Что мы должны сделать, чтобы найти верное решение написания? Здесь требуется две задачи решить: здесь с особенностями строения этой  смысловой единицы речи  из вопроса осмыслить, а также способ его образования точно проследить . Это очень важно, чтобы в словообразование  «пугов(и/е)чка» рассмотреть и не позволить  появиться ошибке. Способ, которым слово образовано, мы сейчас постараемся понять и выяснить написание его в отношении гласной. Итак, начинаем. От существительного женск.рода. «пуговица», указанного в вопросе выше, в нашем  случае образовалась эта форма. Что говорит об этом правило?
А можно ли писать с "е"? Правилам русск. языка явно противоречит с "е" вариант написания «пуговечка». Применение в спорном  слове суффикса «-ечк-» не позволяет  морфемный состав этого непростого слова. Итак, верно: ПуговИчка.

Для чего мы употребляем суффиксы?
Чтобы образовать новое слово от одного корня. Это новое слово будет с каки-то новым оттенком.
Так и слово пуговица с применением суффикса -чк (-чек) получает уменьшительное значение пуговичка
Есть несколько незыблемых правил, относительно суффиксов и их правописаний. Например,
Или такое правило: если у нас есть существительное женского рода с изводным суффиксом -иц, то уменьшительная ласкательная форма будет образована с суффиксом -ичк.
Палица -паличка
Лестница - лестничка
Пуговица - пуговичка

В слове пуговичка пишем суффикс -ичк. Чтобы проверить написание гласной И в суффиксе, нужно это слово поставить в родительный падеж ( пуговичка и нет кого? чего?-пуговички. Если в родительном падеже буква И не выпадает, то и в слове нужно писать только букву И. Но: листочек-листочка, буква Е в родительном падеже выпала, значит эту букву Е пишем в суффиксе. Еще примеры: дождик-дождика,сыноч�ек-сыночка,платочек-п�латочка.

Согласно правилам русского языка верным вариантом из тех двух которые приведены вами в вопросе является "пуговичка". Проверить корень "ичк" в этом слове можно словом "пуговица". При этом надо знать что существительные женского рода которые образуются при помощи суффикса "иц" имеют суффикс "ичк" в уменьшительно ласкательном значении.

Перед нами существительное и причем, существительное женского рода.
Проверить правильность написания, можно подобрав проверочное слово, например "пуговица", суффикс "иц", значит в уменьшительно-ласкательном варианте пишем суффикс "ичк", ответ, "пуговичка".