Как правильно писать - "прикажите" или "прикажете"? Почему надо писать именно так? В каких случаях нужно писать "И"? В каких случаях пишется "Е"? Или пишется только одна определенная буква? Тогда какая именно и почему?

В повелительном наклонении (вопрос - что сделаЙте?) написать это слово не составляет труда, поскольку гласная "И" стоит в слове под ударением - прикажИте.
Сложность в написании глагола, который отвечает на вопрос "что сделаете?". ПрикажЕте или ПрикажИте? Некоторым кажется, что проверочным будет как раз слово в повелительном наклонении - прикажИте, то есть они предлагают писать букву "И".
Начальная форма глагола - "приказать" (что сделать?). От него образуем глагол второго лица множественного числа, в будущем времени (вы прикажете когда-нибудь) -
**
Легко запомнить:
когда это приказ - пишем через "И" под ударением (ПрикажИте подать карету!);когда ударение падает на гласную "а", и глагол стоит в будущем времени, то пишем через "Е" (Как только прикАжЕте подать карету, сразу же и подадим!).Таким образом, данный глагол имеет обе формы написания.
                                                                              

Оба слова имеют широкое применение в русском языке. Чтобы правильно написать этот глагол, мы должны четко определиться, для чего мы его хотим употребить. Если мы хотим кому-то что-то приказать, мы прибегнем к повелительному наклонению: что сделайте? - прикаж-И-те. И ударение ставим на эту проблемную "и".
Если же мы хотим, чтобы слово употребилось в будущем времени, то писать должны через "е": что сделаете в будущем? - прикаж-Е-те. Это просто надо запомнить. Предложения:
Если вы прикажете, я поеду в командировку. / когда-нибудь что сделаете? - прикажЕте.Прикажите, чтобы остудили воду в холодильнике. / сейчас, немедленно что сделайте? - прикажИте.

Обе приведенные в вопросе формы написания глагола совершенно правильны, они зависят от наклонения, что определяется по смыслу предложения: в нем либо говорится  о фактическом действии, которое относится к какому-либо времени (к настоящему, прошедшему или будущему), либо о побуждении к действию, которое должен совершить собеседник.
Определить можно  по вопросам к глаголу. А правописание гласной "е"  связано со спряжением глагола.
Приведенные формы "прикажете�" или "прикажите"  представляют лишь разные формы одного и того же глагола. И этот глагол  -- приказать,  совершенного вида, первого  спряжения.
Следовательно,  в этой форме личные окончания глаголов этого этого  пишутся с буквой "е".
А заданный глагол -- это форма будущего времени второго лица числа множественного в изъявительном наклонении и пишется с окончанием -ете.
Например.
Погода портится, поэтому  поход будет отложен, если прикажете (что сделаете?).
От этого же глагола  употребительна и форма повелительного наклонения: в числе единственном она имеет суффикс "и", в числе множественном добавляется окончание "те", так что конечное сочетание букв -- -ите.
Например.
Попросите сестру не дразнить братика, если не послушается, то просто прикажите (сделайте что?).

Написание этого слова от того смысла, который в него вкладывается. давайте посмотрим на примерах:
Только прикажите - я всё сделаю!
Товарищ генерал, прикажите начать огонь!
Прикажите своей собаке отойти от меня!
Если прикажете - я всё сделаю!
Товарищ генерал, прикажете начать огонь?
Если вы не прикажете своей собаке отойти от меня, я её пну!
Итак, одно и то же слово в очень похожих предложениях может быть написано по-разному. Всё зависит от смысла. Если слово имеет принудительный оттенок - "прикажите! Сделайте!" - то пишется через "и", и ударение падает на эту букву, это хорошо слышно.
Когда смысл условия с будущим временем - "если прикажете" - то пишется буква "е", при этом ударение ставится на "а".

Два варианта написания данного слова имеют место быть и оба варианты правильны.
Разница состоит лишь в том, в каком смысле, контексте данное слово применяется.
Давайте нагляднее разберем на примерах.
1.Если вы прикажете нам отправиться в поход, мы сделаем это немедленно!
Мы ждем, когда вы прикажете начать работу над проектом.
Глагол в данном случае в изъявительном наклонении и нужно писать правильно: прикажете.
2.Прикажите начать работу, время самое подходящее.
Прикажите этому отделу вести работу в соответствии с графиком.
Здесь глагол используется в повелительном наклонении и нужно писать: прикажите.

Если глагол стоит в форме 2 лица множественного числа будущего времени (Что сделаЕТЕ? - прикажЕТЕ), то следует ставит окончание -ЕТЕ. Например: "-Прикажете остановиться?" Если же глагол в повелительном наклонении (Что сделаЙТЕ - прикажИТЕ), то надо употребить окончание ИТЕ. Например: "Прикажите им немедленно прекратить!" Следовательно, здесь пишется не одна конкретная буква, а 2 разные, зависимо от формы и вопроса, задаваемого к этому глаголу.

Оба варианта написания данного слова правильны. Дело в том, что в обоих вариантах глагол "Приказать" стоит в разных наклонениях.
С случае с "Прикажете" - это изъявительное наклонение. "Что прикажете, хозяин?"
"Прикажите" - повелительное наклонение - "Прикажите, что нужно сделать"

"Прика́жЕте" — форма глагола «приказать» во 2 лице мн.ч. буд. вр. изъявительного наклонения;
"Прика́жЕте - сделаем!"
«ПрикажИте» — форма 2 л. мн.ч. повелительного наклонения.
"ПрикажИте сделать ..." 

1) Пишем букву И - прикажИте, когда повелеваем, указываем, что делать (что сделаЙте?).
2) В начальной форме глагол "приказать" - оканчивается на "-АТЬ", значит у глагола 1 спряжение, в котором пишется буква Е: прикажЕте (что сделаЕте?)
Также можно узнать какую писать букву по вопросу, как указано выше.

Обе формы верны. Всё зависит от того, где употреблять слово. Надо обратить внимание на ударение в слове. "прикажИте" и "прикАжете".
Первое слово можно воспринять, как просьбу человека приказать ему сделать что-нибудь. Второе может, например, использовать в вопросе к своему хозяину слуга:"Что прикажете?"

Прикажите- это значит повеление, позыв к действию!
А прикажете- значит «что вы прикажете?» что вы хотите?