Помогите решить Научаются или научиваются как правильно говорить, писать? Почему?.

Ну, слова "научиваться" в русском языке нет в принципе. Даже проверка орфографии подчёркивает его красной чертой. Так что такой формы, как «научиваются», тоже, естественно, не существует. Так нельзя говорить.
Научаются — думаю, что можно так сказать. Зависит от стиля текста. Почему-то мне кажется, что глагол слегка устаревший. Так что если это стиль XIX века, стиль высокой классической литературы, то так можно выразиться. Например, в каком-нибудь житии святого, в религиозной проповеди, в оде и т. п.
В обычной, современной речи, если это разговорный, научный или официально-деловой стиль, я бы сказал просто ,,учатся". Ребята в школе учатся читать и писать. Орлята учатся летать. И так далее.
                                                                              

Кто-то учится (можно учиться (незавершённый процесс) и при этом ничему не научиться)
А кто-то научивается (доводит до завершения каждый этап (совершает, завершает, получает результат))
?Вопрос не в том, что есть такое слово или нет, а Как сказать правильно, коротко, БЕЗ длинных фраз...