В чем разница между словами "истинный" и "настоящий"? Являются ли они синонимами? Когда какое лучше употреблять? Приведите примеры предложений.

Синонимичные отношения возникают между словами при их одинаковом лексическом значении, обусловленном контекстом.
Данные нам прилагательные сами по себе многозначны, одно из значений у них общее.
Смотрим толковый словарь С. Кузнецова.
Из этих словарных статей следует, что синонимами данные прил-е становятся, если назвают признак чего-то подлинного, настоящего, соответствующего заданным требованиям, нормам, принципам. В таких случаях одно может заменить другое, напр., Настоящая/истинная радость не может быть поддельной/Настоящая/истинная иногда приносит боль/Настоящий/истинный друг - великое счастье для любого человека.
В других ситуациях замена невозможна, напр., в специальном значении, как часть термина, - Настоящее время глагола (лингвистический термин, нельзя сказать "истинное") есть только у глаголов несовершенного вида/Найдите истинную абсолютную погрешность данного числа(математический термин, не заменяется "настоящим").