Как решить Может ли предложение начинаться с частички "чтобы"? Почему?.

Слово "чтобы" может употребляться в нашей речи в качестве двух разных частей речи -- союза и частицы.
Союз связывает части сложноподчиненного   предложения, а в таких предложениях придаточная часть может предшествовать главной. Тогда предложение начинается с союза.
Не буду останавливаться подробно  на этой части речи, поскольку в вопросе однозначно обозначено,
что уважаемого автора интересует  частичка "чтобы". Есть такая частица, она обычно употребляется в разговорной речи и выражает  приказание, пожелание или сомнение. С неё как раз и начинаются предложения.
Например.
Чтобы все задания были выполнены к моему приходу!
Чтобы я еще хоть раз поверила твоим обещаниям!
Чтобы я отпустила свою дочь ночевать к подруге?
                                                                              

Конечно же да. Например: Я проснулся с будуна с сильной головной болью. Мне срочно нужно было "поправиться". ЧТОБЫ это сделать, я зашёл к соседу и попросил у него денег в долг до зарплаты. Много можно привести примеров. ЧТОБЫ курс рубля был стабильно крепким, нужны высокие цены на нефть + аппетит к риску на финансовых рынках,  а так же отсутствие геополитической напряжённости. ЧТОБЫ любимые были вместе-они должны быть партнёрами, смотреть в одну сторону и иметь общие интересы... итд-итп. И если подбирать такие возможные предложения, то перед этим словом (Чтобы) в уме можно поставить фразу "Для Того".

Предложений с союзом "чтобы" в начале предложения можно составить очень много. Единственно, что нужно помнить, так это то, что если этот союз стоит в начале предложения, то запятая ставится в конце придаточной части. Примеры предложений:
Чтобы побыстрее добраться до дома, Анне Сергеевне пришлось вызвать такси.Чтобы быть стройной и привлекательной, нужно вести здоровый образ жизни и соблюдать умеренность в принятии пищи.Чтобы новый коллектив относился к Вам благосклонно, нужно быть приветливой и уважать своих коллег.Чтобы хорошо учиться, нужно проявлять старание и своевременно выполнять домашние задания.Чтобы хорошо зарабатывать, нужно найти хорошую работу.