"Театр Маяковского" с какой буквы пишется?
Как и в каких случаях использовать прописные (заглавные) буквы при написании словосочетания "театр Маяковского"?
"Театр Маяковского" пишется с "большой" буквы или с "маленькой"?
"Театр Маяковского" пишется в кавычках или без кавычек?

Когда мы приступаем к написанию названия любого театра (в нашем случае - имени Маяковского) и хотим при этом не допустить ошибок, то исходить нужно, как я понимаю, из официального (по-другому скажем - полного его названия). Оно выглядеть будет так:
Казалось бы, всё уже понятно. Если вы извлечём из этого названия два слова, получая сокращённое название, то тогда, если сохраним орфографию, у нас должно получиться так: "театр Маяковского". В этом написании есть определённая логика. Она элементарна: "театр"  - нарицательное существительное, а "Маяковского" - это фамилия.
Но если смотреть глубже, то можно и иначе рассуждать. И чаще всего это второе рассуждение и является наиболее популярным:
Поскольку мы говорим не о театре вообще, а всё-таки о названии конкретного театра, который раньше именовался как "Театр Революции", а с 1941-года - "Московский театр драмы", то сокращение его названия до "Театр Маяковского" означает, слово "Театр" как бы частично приобретает статус собственного, тем более именно с него название и будет начинаться.
Таким образом, если в середине предложения нам встретится словосочетание "Театр Маяковского", то вполне можно слово "Театр" писать с "большой" буквы, поскольку мы придаём ему соответствующий семантический статус.
Сочетание "Театр имени Маяковского" принято писать аналогично. Только слово "имени" никогда и нигде не пишут с заглавной буквы.
Вариант "театр Маяковского" возможен при написании полного названия.
Кавычки не нужны. Мы использовали их в методических целях.