Как будет правильно: ураганный или ураганый?
С одной Н или с двумя НН?
УрагаНый или урагаННый?
Как объяснить правописание?

Прежде всего обратим внимание на морфемный состав заданного прилагательного (обозначен признак).
Вряд ли кто-нибудь будет сомневаться, что слово образовано от имени существительного "ураган", состоящего из одного корня,  имеет окончание -ый.
Что появилось между корнем и окончанием? Конечно, суффикс "н",   с помощью которого  и образовано слово "ураганный" (= корень "ураган" + суффикс "-н-" + окончание "-ый").
Что же видим? А видим, что на стыке корня и суффикса образуется удвоенная согласная "н", первая из которых входит в состав корня, а вторая очень распространенный (продуктивный) суффикс прилагательных.
Несколько примеров  других прилагательных, образованных от существительных с основой на "н" при помощи суффикса "-н-", что и приводит к написанию удвоенной "н" в слове: тронный, весенний, каменный, туманный.
                                                                              

Слово "урага(н/нн)ый" является прилагательым и чтобы понять, сколько здесь одна Н или две НН, как правильно пишется "урагаНый" или "урагаННый" - обратимся к правилам русского языка.
Прилагательное "урага(н/нн)ый" образовалось от существительного "ураган" (основа слова) и суффикса "н", где получается удвоенная НН - урагаННый.
Затерявшихся туристов застал урагаННый ветер, который подпортил им немало здоровья.