Как следует писать правильно-"в заявлении" или " в заявление"? "е" или "и"?

Среди предложенных вами вариантов, нет ни одного неправильного. Написать можно и так и эдак, однако не во всех случаях обе эти формы написания будут использованы одинаково правильно. А задавать тон для правильного выбора, будет контекст всего предложения в котором используется это слово.
Вот примеры употребления обоих вариантов -
"Товарищ Петров, в вашем заявленИИ, нет ни слова о причинах по которым вы просите материальную помощь от профсоюзного комитета"
"Товарищ Петров, потрудитесь внести в ваше заявленИЕ причину, по которой нуждаетесь в материальной помощи"
Чувствуете разницу - где? и куда? Вот этим и различаются эти слова.
                                                                              

Актуальный вопрос на самом деле, поскольку именно с этим словом и его написанием возникают трудности у большинства людей.Итак, написать данное слово с предлогом можно 2 способами, но вот чтобы понять какой способ вам применить необходимо задать вопрос :"где или откуда".Если в первом случае - то будет : в заявлении.Если во втором , то : в заявление. Приведу простой, но банальный пример с данным словом:
Укажите свои данные в заявлении.Вы забыли добавить в заявление свой статус пребывания.

Два варианта правильные и имеют место быть в написании.
Просто это одно слово в разных падежах может употребляться.
Если вопрос "где?", то пишется "в заявлении".
Если вопрос "куда?" , то "в заявление".
Указать в заявлении, но добавить в заявление что-либо.