Как правильно пишется слово "вещ(?)мешок"?
"Вещмешок" пишется слитно или раздельно? Почему?

Предложенное слово является  именем существительным. Это сложносокращенное существительное,  образовано оно путем соединения начальной части (усеченной части) полного прилагательного "вещ/евой" и взятого целиком другого слова -- существительного  "мешок".
Это очень продуктивный способ образования сложносокращенных слов из сочетаний  "определяемое — определение". Слова этого разряда легко раскрываются в виде цельного словосочетания, в данном случае -- это "вещевой мешок".
Этот тип образования слов является переходным между сложными и сложносокращенными словами.
По существующим правилам русского языка такие сложносокращенные слова пишутся без всяких пробелов, дефисов, единственно правильное написание -- слитное, только в одно слово.
Правильно написать заданное существительное -- вещмешок.
Мягкий знак, присутствующий  только в существительном "вещь",  обозначает женский род самого существительного, а не мягкость конечной согласной Щ, она всегда мягкая. Слово "вещь-мешок"  не имеет никакого смысла.
Приведу  несколько примеров аналогично образованных сложносокращенных слов:
стенгазета, компартия, профсоюз, сельсовет,  турпоход.