Как правильно пишется слово: "втрое" или "в трое"?
Как пишется "втрое", слитно или раздельно?
Как правильно написать "втрое"?
Как объяснить написание слова "втрое"?

Чтобы выяснить, какой из двух предложенных вариантов правильный, обратимся к правилу русского языка:
Под это правило пападают наречия вдвое, надвое, впятеро, всемеро, вдвоем, вчетвером и др. В том числе и рассматриваемое нами слово: втрое.
Исключением из данного правила является единственный оборот: в оба. Например, смотри в оба!
В качестве примера приведу цитату из романа И.Гончарова "Фрегат Паллада ":
                                                                              

Втрое (слитно).
Так пишется наречие. Но сначала, прежде чем слитно написать "в" и "трое", нужно удостовериться в том, что мы пишем наречие. Например: "Первокурсников было чуть ли не втрое (то есть чуть ли не в три раза), если не вчетверо,  больше, чем пятикурсников". Характерно, что слово "втрое" очень часто соседствует со словами "меньше",  "больше", "быстрее", "выше", "увеличить", "превосходить", "снизить". Все эти соседствующие слова обозначают те направления движения или состояния, которые в три раза выше или ниже противопоставленных им.
В трое (раздельно).
Это довольно-таки редкий вариант. Например: "В двое, да и в трое суток мы, Иван Иванович, явно не уложимся. Вот в четверо, наверное, сможем уложиться". Ещё так говорят и пишут, когда говорят о руках трёх человек. Один из способов - это сказать "в шесть рук". Другой способ - "в три пары рук". А третий - "в трое рук". Так же можно писать, касаясь практически любых парных предметов или существительных только множественного числа. Например: "В трое сапог насыпался снежок, а в четвёртые даже налилась вода.
В Трое (раздельно и с заглавной буквы).
Например: "Эти предметы были обнаружены и выкопаны в месте амфитеатра в Трое". Понятно, что Троя - название, отсюда и "большая" буква "Т".
Таким образом, мы увидели целых три варианта написания сочетания или слова "в(?)т(Т)рое":

Когда мы ведём речь о соотношении, (во сколько раз что-то больше другого), то пишем "втрое" (со строчной буквы).
А если мы ведём речь о каком-то событии, случае, при раскопках в бывшем городе  то пишем "в Трое" (с прописной буквы).