Как правильно пишется: "взад-вперёд" или "взад вперёд"?
Нужен дефис или нет?
Какие правила написания?
Примеры предложений.

Наречие "взад(...?)вперёд" - относится к категории сложных наречий.
Сложные наречия, если они образованы повтором одинаковых или однокоренных слов, а также синонимов, пишутся через дефис.
Например: "еле-еле", "чуть-чуть", "крепко-накрепко", "туда-сюда". 
Также пишутся через дефис сложные наречия, образованные соединением антонимов. Например: "туда-сюда", "налево-направо". Именно к таким сложным наречиям относится "взад-вперёд", образованное повтором антонимов. Его мы будем писать  через дефис.
Приведём пример предложения с этим сложным наречием:
Григорий никак не мог успокоиться, так и ходил по комнате взад-вперёд.