Помогите решить Как правильно произносятся слова: анемия, анестезия, антисептика?.

Чётких правил не существует. когда следует читать "е" как "э". Бывают случаи, когда читать можно и так, и эдак (вариативные).
Конкретно, для трёх слов вопроса ответ такой:
анемия и антисептика  читаем со звуком "е",
анестезия - со звуком "э".
                                                                              

Слова с твердыми согласными перед е выпишите в один столбик, а с мягкими – в другой.
Твердое произношение согласного перед Е: антисептика;
Мягкое произношение согласного перед Е: анемия, анестезия.
Вот такое правило.

Всё достаточно просто .
АнемИя- ударение  падает на последний слог и на букву И.  А е произносится мягко ,вскользь.
АнестезИя- ударение также на последний слог на букву И , а буквы е заменяются на звук"Э".
Антисептика- ударение падает на  третий  слог,на букву Е.

Согласно требованиям русского языка, слова анемия, анестезия и антисептика могут произносить как с "е", так и с "э". Но в разговоре больше принято произносить слова анемия и антисептика с мягко звучащей буквой "е", а слово анестезия с буквой "э" - анЭстЭзия.

АнемИя- ударение на третий слог(буква И).
АнестезИя- ударение на четвертый слог(буква И).
АнтисЕптика- ударение на третий слог(буква Е).