К какой части речи относится слово "кстати"?

Слово «кстати» является в русском языке наречием (см. Толковые словари Даля,  Ушакова, Ожегова, Ефремовой, Дмитриева  и другие справочники).
Это наречие действительно образовано сращением предлога "к" и дат. п. ед. ч. сущ. жен. р. «стать» (Этимологический словарь русского языка). Сущ. «стать» в во втором (переносном) значении  обозначает «сущность кого-либо, чего-либо (Совр. толковый словарь Ефремовой).
I. В результате этого сложения наречие «кстати»  получило своё первоначальное значение «в подходящий (нужный)  момент, к месту, вовремя». Например:
(1) Спасибо, друг, ты приехал кстати, да и деньги пришлись тоже как нельзя более кстати.
В этом значении наречие «кстати» имеет много синонимов: ко времени, в своё время, к месту, своевременно, впопад,  уместно, в самую пору,  под стать, как раз  и др. Его антонимами являются слова: некстати, невпопад, не к месту. Например:
(2)  Этот упрёк он бросил невпопад (не ко времени)  и тут же пожалел об этом.
В предложении наречие «кстати» отвечает на вопросы «когда?», «как?» играет обычно роль обстоятельства.
II. Однако наречие «кстати», наряду с исходным значением 1. "вовремя, в подходящий момент, к месту»,  приобрело  ещё  и значение 2. «в дополнение к сказанному,  в связи со сказанным (выше),  пользуясь (подходящим, удобным) случаем; вместе с тем, заодно с чем-нибудь другим». Например:
(3) Кстати, этого человека я тоже  знаю.
В этом  значении невозможно  задать вопрос к наречию "кстати", потому что оно является вводным словом  (выражением). Вводные слова, обычно выделяемые  в предложении запятыми, не входят в общую структуру (схему) предложения  и потому членами предложения  не являются. У вводных слов другое предназначение:  они указывают на смысловую связь между предшествующим и последующим высказываниями.
У наречия "кстати" в функции  вводного слова тоже есть свои синонимы:  к слову сказать, кстати (попутно) замечу, кстати о.. (об этом, о книге, музыке и т.п.), между прочим, заодно с ... (чем-нибудь другим), пришлось к слову и др.». 
Так что по количеству синонимов наречия «кстати» в том или ином значении можно судить о его широком употреблении в нашей речи.
                                                                              

"Кстати" выступает в речи в качестве наречия, которое в предложении играет роль обстоятельства.
Образовано оно от существительного «стать», которое имеет форму дательного падежа, с помощью приставки к– и суффикса –и.