Как это решить Слово кое, кои, коим: значение, как пишется, какая часть речи?.

Начать, пожалуй, стоит с кой, то есть с начальной формы. Слово это в современной речи встречается нечасто. Относится к устаревшим, его можно назвать архаизмом. Сейчас он чаще употребляется в устойчивых сочетаниях ( на кой черт, на кой ляд и пр. ). Это форма единственного числа мужского рожа. Кой имеет форму множественного числа ( кои ), а также женского ( кая ) и среднего ( кое ) рода.
Все перечисленные выше слова являются местоимениями, в зависимости от контекста могут относиться к вопросительным или относительным. Употребляются, как правило, в значении "который, которая, ...".
Изменяются по падежам они как имена прилагательные, что может служить ориентиром при склонении, чтобы не допускать ошибок в падежных окончаниях.
Коим - форма Творительного падежа.
Есть в нашем языке и имя существительное кои. Он является названием парчового карпа ( декоративный вид обычного ).
А еще есть приставка кое-, при помощи которой образуются неопределенные местоимения: кое-кто, кое-что, кое-какой и т.д. Ее всегда следует писать со словами через дефис.   
                                                                              

Чтобы определить, какой частью речи является данное редко употребляемое сегодня слово, заменим его другим, подходящим по смыслу. Рассмотрим такой пример, для наглядности:
В  речи главного героя фильма встречаются слова, кои мне не хотелось бы повторять без особой надобности. Синоним слова "кои" в данном предложении - которые. Оба слова являются местоимениями, в данном контексте - относительными. Если предложение, в котором они употребляются, было бы вопросительным, то данные местоимения стали бы тоже вопросительными.
__
Что касается остальных форм: кое - ср.род ед. ч., коим - м.р. от "кой" в форме творительного падежа.