Как решить Как правильно: достигли или достигнули?.

Глагол, указанный в вопросе "достигли" (или "достигнули"?) - это глагол, стоящий в личной форме, отвечающий на вопрос - что сделали? Он образован от глагола совершенного вида - что сделать? - "достигнуть" (или "достичь"). Глаголы "достигнуть" и "достичь" равноправны, и являются синонимами.
Глагол прошедшего времени, множественного числа  будет иметь словоформу - что сделали? - "достигли". Но никак не "досгигнули". Слова "досгинули" - нет в руссом языке.
Составим примеры предложений с этим глаголом "досгигли":
Мы достигли полного взаимопонимания в наших отношениях. Ну и что же вы достигли в спорте, какие у вас награды?                                                                              

Есть глаголы совершенного вида: достигнуть и достичь. (Что сделать?) Если подобрать склонения этих глаголов для третьего лица во множественном числе в прошедшем времени, то получает глагол "достигли". По смыслу глаголы "достичь" и "достигнуть" равны, то есть это синонимы, и глагол в третьем лице множественного числа в прошедшем времени у них один, это слово "достигли" (они достигли чего-то). Есть глагол не совершённого вида "достигать". То его форма в третьем лице множественного числа в прошедшем времени будет выглядеть так: "достигали". Это называется спряжение глаголов в прошедшем времени. Примеры предложений. 1. Они достигли реализации своих целей. 2. Участники от местного вуза в этой учебной олимпиаде достигли второго места в конкурсе для своей команды. 3. Большинство людей в возрасте от 30 лет достигли семейного счастья.