Как правильно - эгоист или игоист? Почему?

Правильным вариантом будет слово  Эгоист, посккольку проверочным словом к нему будет слово Эго, с ударением как раз на первый гласный. Эгоист это человек ставящий свое Эго выше интересов  других людей. Эго и эгоист слова однокоренные.
                                                                              

Эгоист правильный вариант
Просизошло от слова Эго, где ударение на первую букву

Правильным написанием будет "эгоист", которое в своей основе имеет греческое слово "эго", означающее "Я" или "Личность".
Эгоизм - поведенческая модель, когда человек на первое место ставит свои интересы, фокуссируясь только на личной выгоде и пользе.

Основа этого слова, точней слово от которого оно произошло, это слово "Эго", есть ещё и слово "Иго", но это уже совсем другая история.
правильно писать "Эгоист" и не иначе, ваш первый вариант , в вопросе, является правильным.

Если не ошибаюсь, то с греческого ( а может и с латыни, могу ошибиться) то "эго" переводится как "Я". Соответствено - эгоист - это тот кто все употребляет для себя. Так оно и пишется - Эгоист , с буквы "Э".