Как правильно: ускоревший или ускоривший?
Через "и" или через "е"?
УскорИвший или ускорЕший?
Какая часть речи?
Как объяснить правописание?

Правильно:ускоривший�.
Это действительное причастие прошедшего времени. Причастия считаются особой формой глагола.
Словообразование: ускор/и/ть – ускор/и/вш/ий.
И - глагольный суффикс, ВШ – суффикс причастия.
В причастии две орфограммы (безударные гласные): ускорИвшИй.
Суффикс И контролируется по словарю для глагола "ускорить". Окончание ИЙ (как у прилагательного) – м.род, ед.число, И.п. Ударением не проверяется, надо запомнить.

Очень интересный вопрос задал автор, и чтобы ответ прозвучал достаточно полно, заметим:
"Ускоривший�" является причастием.
Точнее-это страдательное причастие мужского рода в именительном падеже; в единственном числе;в прошедшем времени. То есть Он и когда-то ускоривший.
Часть речи от которого произошло данное причастие-глагол ускорить.В данном слове  ИВ и Ш-является одним из суффиксов. ИЙ- окончанием.
Ответ: "Ускоривший�"