1) Слово используется с именительным и родительным падежом.
2) Слово используется с именительным и родительным падежами.
Какой из двух вариантов правильный? Или оба?

Мы имеем дело с однородными определениями при одном существительном. 
Случай, данный в вопросе, довольно лёгкий, поскольку речь идёт о научной терминологии -  о лингвистических терминах, называющих разные виды одной грамматической категории - падежа.
Это значит, оба определения (именительный и родительный) имеют внутреннюю семантическую связь, им не предшествует  дополнительное общее определение в форме множественного числа, поэтому существительное при них  лучше употребить в единственном числе - с именительным и родительным падежом.
Подобные примеры внутренней связи однородных определений: левым и правым глазом, учебники по  русскому и немецкому языку и т.п.
Смотрим Справочник Д. Розенталя.