Как правильно сказать: "пожарить яйцо" или "пожарить яичко"?
В каких случаях уместно говорить "яичко" в значении "куриное яйцо"? Можно ли  так выражаться и почему? 

Можно ли яйца называть яичками?
Можно ли яички называть яйцами?
Эти два вопроса ещё раз напоминают нам о том, что мы говорим о двух разных словах, основные значения которых наверняка описаны в каждом словаре.
Итак, что такое яйцо? Это это яйцеклетка; это зародыш червей и насекомых; это уникальный резервуар, в котором зародыш птицы или пресмыкающегося; это соответствующий продукт или блюдо из него.
А яичко что такое? Это либо железа внутр. секреции, либо мужской орган.
Мы всего лишь заглянули в словарь. Многое поняли.
Теперь обратимся к речевой практике:
Можно ли "сварить яичко"? Нет, лучше сказать "свари яйцо".
Можно ли "добавить яичко в тесто", "разбить в тесто два яичка"? Лучше разбить и добавлять в тесто яйцо или яйца.
_
Теперь несколько слов об уменьшительно-ласкательных формах. Например, можно ли маленькое яйцо назвать яичком? Можно ли называть яйцо яичком в разговоре с ребёнком?
Дело в том, что любые диминутивы уместны в речи тогда, когда их употребление оправдано, когда они приняты в данной речевой ситуации.
Одно дело, когда мы скажем трёхлетнему ребёнку: "Смотри, моя лапочка, курочка хорошенькое яичечко в лукошечко принесла". Это и допустимо, и ласково звучит, и не прибавляет никакой многозначности.
Автора "Курочки Рябы" бранить мы не станем.
Хотя можно, как в мультфильме, предложить деточке "скушать яйцо диетическое". Приучайте малыша и малышку к верной речи, они это запомнят.
Другое дело, когда жена говорит пятидесятилетнему мужу: "Дорогой, разбить тебе яичко на сковородку?". Нет, лучше применить слово "яйцо", чтобы не попасть впросак и не поощрять своими репликами дурной тон.
_
Вот пословица о яичке ко Христову дню:
Почему не "яйцо"? Потому что так принято, это очень устойчивый оборот. Он оправдан  ритмически. Поэтому пословицу о пасхальном яичке мы не переделываем в пользу слова "яйцо".
_
В связи с этим, не бойтесь суховатого слова "яйцо" в сочетаниях "куриное яйцо", "страусиные яйца", "перепелиное яйцо". Именно так этот продукт будут именовать на упаковках и ценниках в магазине. И нет в нём никакой "сухости". Это самый точный и верный словарный вариант.
                                                                              

Яйцо (яйца - множ. число).
Существительное в таком виде является литературным, словарным и правильно употребленным в таких значениях и ситуациях:
1) Яйцо птицы и других живых существ. Так называют куриные, страусиные, воробьиные и даже муравьиные яйца. Следовательно, если мы жарим какое-либо из этих яиц, то употреблять форму "яичко" оправданным не стало бы. В крайнем случае, когда мы желаем подчеркнуть слишком маленькие размеры купленных яиц, правильнее сказать "маленькое яйцо", но не "яичко".
2) Любой сувенир, внешне напоминающий яйцо.
Яичко (яички - множ. число).
1) Соответствующий орган, описанный в анатомии или физиологии. В данном случае форма "яичко" не является уменьшительной, так как это самостоятельный термин, который распространен в атласах по мужской анатомии.
2) В устойчивых сочетаниях (это поговорки, сказки, стихи и так далее), в которых слово "яичко" употреблено в значении "яйцо" с целью лучшей рифмовки, передаче детской речи или разговора с ребенком. В то же время учить детей неверно употреблять слова, чрезмерно увлекаясь уменьшительными формами, как мы видим, может обернуться абсурдом. "Уменьшение" слова  приводит к его неправильному значению.
Правильно сказать - пожарить яйцо (яйца). 

У птиц или пресмыкающихся яйцом будет называться специализированная клетка, расположенная в оболочке (твердой скорлупе), имеющей овальную форму. Называть уменьшительно яйцо «яичком» нам никто не запретит. Как не запретит любой предмет называть в уменьшительной форме.  Но, на мой взгляд, форма "яйцо" все-таки будет предпочтительнее.
Также «яйцом»  или «яйцеклеткой»   мы назовем женскую половую клетку,  из которой развиваются живые организмы.  А вот мужскую парную половую железу, вырабатывающую сперматозоиды,  принято называть не яйцом, а «яичком».  Наверное, именно для того, чтобы разделять эти понятия  у женщин и мужчин (у самки и самца). Ведь женское яйцо и мужское яичко – гомологичные (сходные по строению) органы.

Яйцо, яйцеклетка -  это женские половые органы, а яичко (мошонка) - это мужской половой орган. Часто в обыденной жизни происходит путаница в этих понятиях, например, говорят "пасхальное яичко", а надо "пасхальное яйцо",  мужской орган называют яйцом, а это яичко.