Какой частью речи является слово "мести"?
Где ставить ударение?
Примеры предложений.

Слово "мести" может являться разными частями речи. При этом ударение в слове тоже будет разное.
Слово "местИ" (ударение на втором слоге) - это глагол-инфинитив, отвечает на вопрос - что делать?
Приведём пример предложения с этим глаголом:
Давай лучше займемся уборкой и начнём (что делать?) мести двор. Слово "мЕсти" - это существительное "месть", третьего склонения, женского рода, единственного числа, стоящее в падежной форме. Ударение в существительном падает на первый слог.
Приведем примеры предложений с этим существительным:
Вместо (чего?)мести вам лучше помириться и жить дружно.Не вижу ничего хорошего  (в чём?) в твоей мести.

Зависит от контекста. Например, если возьмём такое предложение:Иван Кузьмич стал работать дворником и с понедельника начал мести дорожки в нашем городском парке. В таком случае ударение уставился на букву "и". Часть речи в данном контексте глагол.
Теперь возьмём другое предложение: вы собираетесь сделать это во имя мести?
Тогда ударение ставится на букву "е". В данном случае перед нами имя существительное месть.
Таким образом, в зависимости от вашего текста, употребления, может быть два варианта, либо "мести улицу"или же "мстить кому-либо".