Как решить Как правильно: кошка мурчит или мурлычет?.

Обратимся к Большому толковому словарю, в нем Кузнецова С.А обозначила значения этого слова, из два, приведу их ниже.
Использовать советуют филологи такие глаголы как мурлыкать и урчать, когда описываем кота, кошку. Но все таки глагол "мурлычет" предпочтительнее, чем глагол "мурлыкает".
И верный ответ - правильно будет "кошка мурлычет".

Мурлыкать - избыточный глагол, который имеет 2 формы в 2 лице ед. Ч. -
Мурлычет и мурлыкает.
В книжной и разговорной речи будет нормой слово "мурлычет".