Как это решить Как правильно написать: экспресс-тест-система или экспресс тест система?.

В русском языке за последние годы появилась масса новых заимствований, написание которых ещё не установилось. Имеются, конечно, рекомендации лингвистов, но они зачастую не доходят до всех носителей языка, чтобы им следовать. Скорее  лингвисты следуют языковой практике, потому что язык сам  силён, чтобы  вырабатывать правила употребления, тенденции и пр. Поэтому я могу только высказать  свои  наблюдения и соображения.
Что касается слова "экспресс"  в сочетании с другими существительными, то тут сомнений  нет – слова "экспресс-тест" ( на наркотики), "экспресс-диагностика",  как и "тест-полоска"  (на беременность), "тест-кассета"  и тому подобные пишутся через дефис, потому что они уже адаптировались к русскому правописанию.
Однако  написание новых  медицинских  препаратов требует осторожности и пока нужно следовать иноязычному раздельному написанию:  "Answer тест на беременность кассетный",  "тест иммунохром на наркотики" и др.
Что касается трёхсложных слов, характерных, например, для немецкого языка, то они пока в русском языке не приживаются, поэтому, если это  не уже устоявшиеся термины, то пишутся как в языке носителе (часто просто перечисляются, как, напр., "экспресс тест система" и др.). Но это для русского языка противоестественно, поэтому лучше избегать  раздельного многословного  перечисления, заменяя на более обычные сочетания:  "тесты экспресс-диагностики",  или в данном случае "система экспресс-тестов". Выбор вариантов нередко зависит от языковой культуры  первичных пользователей этих терминов.