Как правильно пишется такая конструкция: "ни беспокойтесь, ни переживайте и ни унывайте" или "не беспокойтесь, не переживайте и не унывайте"?

В данном случае идёт некое перечисление, однородные сказуемые с глаголами в повелительном наклонении - а в таких случаях употребляется частица "не". Частица же "ни" употреблялась бы, например, в следующем случае: "Он ни унывал, ни радовался" - то есть когда однородные сказуемые имеют противоположный смысл. Здесь же у нас сказуемые имеют похожий смысл - нечто отрицательное из эмоций.
                                                                              

Правильно будет писать через букву "е"
Правильно так:не беспокойтесь, не унывайте, не переживайте