Как решить Как правильно: Первомай или Перво-май?.

Имя существительное Первомай пишется слитно.  Это сложное слово, построенное из двух слов: прилагательного "первое" и существительного "май" при помощи соединительной гласной "о".
Если произвести морфемный разбор его, то он выглядит так:
Перв/о/май/ -- корень перв-, соединительная гласная, второй корень май и окончание нулевое.
Кроме того, это существительное пишется с прописной буквы -- все-таки праздник, единственный в своем роде.
А вот прилагательное от этого имени существительного пишется со строчной буквы, например, первомайская демонстрация, первомайские песни, поздравления, лозунги и т.п.