Помогите решить Как правильно писать: ловчее или ловче? Какое проверочное слово, ударение?.

Речь идёт о простой сравнительной степени либо имени прилагательного "ловкий" (какой?), либо наречия образа действия "ловко" (как?).
Вне зависимости от морфологической принадлежности (прил-е или наречие) существуют оба варианта, отличающиеся стилистически (употреблением в речи).
Ловче - литературный, рекомендуемый, напр., Этот спортсмен ловче (какой? прил-е) других, Он принял мяч ловче (как? наречие) тебя.
Форма "ловчее" некоторыми словарями характеризуется как  разговорный.
Например,  словарь  И. Резниченко (2008) - оба варианта равнозначны.
Словарь С. Кузнецова (2014) даёт форму "ловчее" с пометой "разг."