Как решить Как правильно писать Мадам или Модам? Почему?.

Если вы хотите назвать женщину подчеркнув ее титул например старшей дочери короля и дать ей понять, то что она ваша госпожа в целом, то правильно говорить "мадам", а слово "модам" тоже есть в русском языке, но оно является формой слова "мода" которое обозначает популярную меру одеваться в определенной среде или в обществе в целом в форме дательного падежа и множественного числа.
                                                                              

И так будет правильно, и эдак верно. Не знаем ведь, в каком контексте употреблено слово. Даже не слова, а целых два слова. В одном. И они совершенно разные по значению.
"Мада́м". Пишется через гласную "а" в безударном слоге. При этом ударение падает на первый слог. Это существительное женского рода, которое обозначает во Франции, да и в России до 1917г обращение к замужней женщине. Например, Мадам Голицына, не изволите ли выкушать рюмочку кваса? В художественной литературе прошлых веков словом "мадам" называть могли и простую гувернантку. Но эта трактовка считается устаревшей."Мо́дам". В данном случае имеется словоформа существительного женского рода "мо́да" в дательном падеже множественного числа.

Мадам = Ma + Dame - Моя госпожа (моя дама).
Позаимствовано из французского языка, ма - местоимение женского рода, пишется однозначно так, посему - только через "а".
Есть форма множественного числа mes + dames - дословно "мои госпожи (дамы)", но переводится просто, как "дамы".
В ед. ч. мадам, во множественном в русском языке не употребляется, но можно выделиться с "медам".

Оба варианта есть в русском языке.
Если речь о женщине, то правильно писать "Мадам". Почему? Потому что это заимствованное слово, с французского языка и его правильное написание нужно просто запомнить.
Если речь о моде, то правильно писать "модам" (множественное число, женский род)

Правильно пишется Мадам. Если интересны подробности открывайте толковый словарь и там всё подробно написано.