Как это решить Как правильно писать : "медучреждении" или "медучЕреждении"?.

Слово из вопроса называет предмет, отвечая на вопрос что?, относится к именам существительные. Его начальная форма ( Именительный падеж единственное число ) медуч*реждение, а в вопросе оно стоит в форме Предложного падежа. Оно, по сути, является аббревиатурой от медицинского уч*реждения.
К слову не получится подобрать проверочное, лигвисты пока не определили точно, от какого слова оно образовано, возможно, существительное череда является ему родственным. Но в этом случае гласная е после ч почему-то выпала.
В современном русском языке слово относится к категории словарных, пишется учреждение и, соответственно, медучреждение.