Слова "первоначально" и "изначально" - это синонимы? Они означают одно и то же или имеют разное значение? Есть ли между ними разница? Когда надо употреблять "изначально", а когда "первоначально"? Приведите примеры правильного употребления этих слов.

Для начала давайте определимся, что такое синоним.
Синонимом называют слово, близкое или равное по значению. Являются ли слова синонимами можно определить из контекста. Есть случаи, когда одно слово нельзя заменить определенным синонимом. Смысл текста изменится.
Первоначально – предшествующий всему прочему, созданный ранее всего. Относится к самому началу действия.
Изначально – с самого начала действия.
Примеры.
Изначально он продумал план действий. – В данном случае утратится смысл текста, если заменить слово «изначально» на «первоначально». Здесь больше подойдет синоним «с самого начала».
                                                                              

По смыслу эти слова похожи. Однако при использовании есть разница. Примеры:
Он изначально не знал как решать эту задачу.
В этом предложении слово "первоначально" изменит весь смысл.
Слово "изначально" означает - всё время, от начала и до текущего момента. Слово "первоначально" относится только к периоду в самом начале. То есть если его использовать, то возникает ощущение, что ситуация со временем изменилась. У слова "изначально" такого эффекта нет.