наташин мячик или Наташин мячик, серёжино слабоумие или Серёжино слабоумие?

Притяжательные прилагательные (которые отвечают на вопрос "чей?" и обозначают принадлежность какому-либо лицу), образованные от имён собственных при помощи суффиксов -ин-, -ов-, -ев-  - пишутся с прописной буквы.  Примеры: Танин мяч, Наташино детство, Олегов велосипед, Машино пианино, Моцартово сочинение, Далев словарь, Сергеев пиджак.
Если подобное прилагательное входит в состав устойчивого оборота - фразеологизма, -то оно пишется   с маленькой буквы - например, "прокрустово ложе", "ахиллесова пята", "дамоклов меч", "сидорова коза" и т.п.
Имена прилагательные, образованные от личных имен и фамилий при помощи суффиксов -ск-, -овск- (-евск-), -инск-, пишутся со строчной буквы, например: булгаковский стиль, бетховенская соната, пришвинская проза, суворовские традиции.
Если прилагательные с суффиксами -ск-, -овск- (-евск-), -инск- входят в состав наименований — имен собственных, в том числе имеющие значение «имени того-то», «памяти того-то», то они пишутся с прописной буквы, например: Габсбургская династия, Петровские реформы, Строгановское училище, Нобелевская премия, Ломоносовские чтения, Булгаковская конференция, Вахтанговский театр.