Как решить Как пишется «многоквартирный», слитно, раздельно, через дефис?.

Имя прилагательное "многоквартирный" (какой?) обозначает одно понятие - дом, где много квартир. По составу сложное, образовано из сочетания наречия "много" и относительного прилагательного "квартирный" (от сущ-го "квартира", кстати, корень - "квартир-").
В современном русском языке сложные слова с первой частью "много-"/"мало-" пишутся слитно. Цитирую академический справочник В. Лопатина.
                                                                              

Многоквартирный- это сложное слово, которое состоит из двух корней (мног- и -кварт-), соединенных соединительной буквой -о-. Естественно, при таком раскладе сложные слова пишутся только вместе, но не через дефис и не раздельно.

Многоквартирный отвечает на вопрос какой? и является сложным прилагательным, первое слово «много» является наречием, второе «квартирный» полным прилагательным.
Если сложное слово образуется подобным образом, то правильно его писать слитно.
Наконец-то началось заселение нашего нового многоквартирного дома.