Как правильно пишется "улучшении" или "в улучшение".
Какие правила?
Составьте примеры.

Встречаются оба варианта написания.
Чтобы разобраться, что писать в конкретном предложении, следует определить, в каком падеже стоит слово «улучшение».
Это слово – существительное среднего рода на «-ие», единственного числа, второго склонения, отвечает на вопрос «что?».
Известно, что предлог «в»  используется только в двух падежах – в винительном и предложном. Следовательно, мы будем иметь дело только с этими двумя падежами.
Если «улучшение» будет стоять в винительном падеже и отвечать на вопрос «во что?» –  будем писать на конце «-е» – «в улучшение» –  по правилам склонения по падежам таких существительных.
Примеры:
Я не сразу могла поверить (во что?) в улучшение  состояния здоровья Олега. В улучшение наших отношений верилось с трудом. Если слово «улучшение» будет стоять в предложном падеже и отвечать на вопрос «в чём?» - будем писать на конце «-и» – «в улучшении».
Примеры предложений:
Подготовьте, пожалуйста,  список всех нуждающихся (в чём?) в улучшении жилищных условий.